В качестве загадки я часто подчеркиваю, что многие головоломки решаются просто с помощью здравого смысла или того, что американский прагматический философ Чарльз С. Пирс (1839-1914) назвал «практической логикой». Когда мы понимаем, как делать определенные вещи практически, без чтобы сказать или показать, как их выполнять, мы используем эту форму логики. Вот классическая головоломка, которая раскрывает силу этого типа инстинктивного мышления:
Путешественник приходит к берегу реки с волком, козой и главой капусты. К его радости он видит там лодку, которую он может использовать для перехода к другому берегу, но, к своему ужасу, он замечает, что он может нести не более двух – сам путешественник, конечно, и только один из двух животных или капусты. Как знает путешественник, если он останется один вместе, коза будет есть капусту, и волк будет есть козу. Волк не ел капусту. Как путешественник транспортирует своих животных и свою капусту на другую сторону без изменений в минимальное количество поездок взад-вперед?
Попробуйте решить его перед чтением. Кстати, на протяжении многих лет я замечал, что люди, которые никогда не сталкивались с этой головоломкой, обычно реагируют на нее, как правило, двумя способами, когда они сначала делают: (1) они чувствуют, что они так или иначе знали это всю свою жизнь (указывая, что ее структура является архетипической ?), и (2) они получают удовольствие от того, что они могут решить это только с рассуждениями «здравого смысла».
Путешественник не может начать с волка, так как это оставит козу в одиночку с капустой, и коза ее съест. Это ключевое понимание решения головоломки. Таким образом, практически говоря, путешественник может начать только с того, что взял козу с собой на лодке на другую сторону, оставив волка безопасно с капустой с оригинальной стороны. Опустив козу на другом берегу, он снова отправляется в одиночку. В целом, это его первая поездка в оба конца. Вернувшись с оригинальной стороны, он поднимает волк и рябит с ним на другую сторону, оставляя капусту отдельно. Подойдя к другому берегу, он падает с волка, но возвращается с козлом, так что волк не может есть козу на обед. Опять же, это решение, очевидно, является частью здравого смысла. Это составляет вторую поездку путешественника. Вернувшись с оригинальной стороны, он оставляет козу там, беря капусту через него на лодке. Когда он доберется до другого банка, он уронит капусту, оставив волка и капусту безопасно вместе, когда он возвращается один. Это его третий раунд. Затем он поднимает козу с оригинальной стороны и перебирает ее. Когда он доберется до другого банка, у него останется его волк, коза и капуста, и, таким образом, он сможет продолжить свое путешествие.
Существует второе решение, которое тем не менее начинается таким же образом. Разница в том, что путешественник берет капусту вместо волка в начале второго тура. Конечным результатом является то же самое – три круглых поездки (или семь возвратных поездок в целом). Как видно, эта головоломка выявляет силу практической логики для минимизации и даже устранения проб и ошибок. Это, на мой взгляд, когнитивная основа того, что мы называем здравым смыслом.
Головоломка – одна из трех из трех названных «головоломок с рекой», первоначально созданных известным английским ученым и церковным Алькуином (735-804 гг. Н. Э.), Который стал советником императора Священной Римской империи Карла Великого в 782 году. Считается, что что Карл Великий стал настолько одержим головоломками, что нанял Алкина прежде всего, чтобы создать их для удовольствия. Гениальный Alcuin объединил свои головоломки в учебное пособие для молодых учеников под названием «Proctionses ad acuendos juvenes» («Проблемы, чтобы обострить молодого»). Некоторые выпуски текста содержат 53 головоломки, другие 56. Он был переведен на английский язык Джоном Хэдли и аннотирован Дэвидом Сингмастером. Перевод был опубликован в томе 76 (стр. 102-126) «Математической газеты» в 1992 году.
Вышеупомянутая головоломка на самом деле является перефразированием числа 18 в руководстве Alcuin. Вот вам другая версия этой головоломки. Опять же, хотя и сложнее, его можно решить просто, применяя к нему здравый смысл.
Путешественник достигает того же берега реки, с той же лодкой. Наряду с ним его волк, козел, глава капусты, и на этот раз мифический монстр, называемый Волка-Пожирателем. Волк-Пожиратель ест только волков. Более того, когда Вольф-Пожиратель присутствует с обеих сторон, он запугивает козу, который, таким образом, не будет есть капусту. Как путешественник получает их все безопасно?
Числа 17 и 19 полны набора алчинских речных переходов. Четвертый (номер 20) также включает пересечение рек, но он дошел до нас в неполной форме. Номер 17 – это около трех человек, каждый из которых имеет незамужнюю сестру, которая хочет пересечь реку с помощью двухместной лодки, причем каждый человек «желает сестры своего друга». Существует очевидный, хотя и неосознанный, сексистский подтекст для головоломки (учитывая историческую эпоху, в которой она была задумана). Несмотря на это, головоломка снова раскрывает, что такое здравый смысл. Вот парафраз головоломки.
Три человека, каждый из которых сопровождается своей незамужней сестрой, приезжают на берег реки. Маленькая лодка, на которой они будут проходить, может содержать только двух человек. Чтобы избежать каких-либо компрометирующих ситуаций, пересечения должны быть организованы так, чтобы ни одна сестра не оставалась одна с человеком на лодке или с обеих сторон, если только ее брат не присутствует. Сколько пересечений требуется, если любой мужчина или женщина может быть гребцом?
Известная более поздняя версия этой головоломки известна как головоломка миссионеров и каннибалов. Можете ли вы решить следующий парафраз?
Три миссионера и три людоеда должны пересечь реку. Ни в одном из банков ни один из каннибалов превосходит число миссионеров, поскольку это неравномерное число приведет к тому, что один из миссионеров будет съеден. Как они могут пересечься с лодкой, которая может содержать только две, если либо миссионер, либо людоед может управлять лодкой?
Номер 19 в антологии Алькуина немного отличается в макияже, но для этого тоже нужен такой же здравый смысл. Далее следует парафраз оригинальной загадки.
Мужчина и женщина, которые весят то же самое, вместе с двумя детьми, каждая на половину веса взрослого, приходят на тот же берег реки и ту же лодку. Лодка может нести двух человек, но она может удерживать только максимум веса одного взрослого, иначе он утонет. Как они пересекаются?
Более сложные версии головоломок, которые связаны с различными комбинациями людей, животных и продуктов питания, дошли до нас на протяжении веков со всего мира, что свидетельствует об универсальном увлечении этой формой архетипического логического мышления (как его можно назвать). Неясно, есть ли какие-либо из этих головоломок предшественника Алькуина. По этой причине последние по-прежнему считаются первыми в своем роде. Между прочим, не все виды головок, пересекающих реку, оказываются разрешимыми. Например, загадки Сэм Лойд (1841-1911) и Генри Э. Дуденей (1847-1930) обнаружили, что невозможно прийти к решению с участием четырех братьев и их незамужних сестер (или, соответственно, четырех ревнивых мужей и их жен). Решение возможно только в том случае, если в середине потока имеется остров, предназначенный для использования в качестве транзитной остановки.
На самом деле, головоломки с речным переходом стали гораздо больше, чем просто упражнениями или примерами в здравом смысле мышления. Многие математические историки следят за концептуальными корнями комбинаторики с головоломкой пересечения реки Алкуин. И легко понять корни современного системного анализа, основанного на критической логике принятия решений, в этих простых, но интригующих парадигматических головоломках.
ответы
Существует несколько способов решить головоломку Wolf-Eater, состоящую из четырех круглых поездок (всего девять индивидуальных поездок взад-вперед). Вот он.
1. Путешественник должен начать с того, что волка с ним на другой стороне, оставив Волка-Пожирателя с козой и капустой с оригинальной стороны. Присутствие волка-людоеда гарантирует, что коза не будет есть капусту.
2. По достижении другого банка, путешественник падает с волка там и возвращается обратно в одиночку. Это его первая поездка туда и обратно.
3. Наденьте оригинальную сторону, он берет капусту, оставляя Волка-Пожирателя и козу безопасно один там, и рядышком с ним на другую сторону.
4. Когда он там, он оставляет капусту благополучно с волком, а затем возвращается в одиночку. Это его вторая поездка туда и обратно.
5. На исходной стороне он поднимает Волка-Пожирателя, оставляя там козу, гребля с монстром в другой берег.
6. Когда он достигает этого, он падает с Волка-Пожирателя, но забирает волка для своей поездки назад (так, что Волк-Пожиратель не будет есть волк), оставляя Волка-Пожирателя безопасно наедине с капустой. Это его третий раунд.
7. По достижении первоначальной стороны, путешественник падает с волка там, поднимая козу для поездки.
8. Когда он достигает другой стороны, он благополучно покидает козу с Волка-Пожирателя и капусты, которые уже есть. Присутствие волка-людоеда гарантирует, что коза не будет есть капусту. Он возвращается один. Это его четвертый раунд.
9. Загрузите с оригинальной стороны, путешественник поднимает волк, рядышком с ним на другую сторону. Он уходит с лодки с волком и продолжает свой путь со всеми четырьмя.
Четыре раунда поездки (девять индивидуальных поездок) также необходимы для решения номера Alcuin № 17. Возможны небольшие вариации решения ниже.
1. Одна пара браков и сестер на первом месте, оставив две другие пары брата и сестры безопасно на исходной стороне.
Брат сбрасывается на другой берег, а его сестра возвращается на лодке. Это первая поездка туда и обратно.
3. Загрузите оригинальную сторону, сестра берет вторую сестру и возвращается с ней на другую сторону. Остальная сестра на оригинальной стороне, конечно, безопасна, потому что ее брат все еще там с ней.
4. С другой стороны, первая сестра позволяет себе остаться с братом, который уже там. Вторая сестра возвращается в одиночку. Это завершает вторую поездку туда и обратно.
5. Когда вторая сестра попадает на исходную сторону, она берет своего брата и входит с ним на другую сторону.
6. На той стороне она бросает своего брата и возвращается в одиночку. Поскольку первая братья и сестры уже существуют, никаких проблем не возникает из-за присутствия второго брата. Это третий раунд.
7. Когда вторая сестра возвращается к исходной стороне, она поднимает третью сестру и проводит ее поперек к другому берегу, оставляя своего брата в одиночестве на исходной стороне.
8. Когда они доберутся до другого банка, вторая сестра уходит, чтобы остаться со своим братом, который уже там. На другой стороне теперь две брата и сестры. Третья сестра возвращается в одиночку к оригинальной стороне. Это четвертый раунд.
9. Загрузите оригинальную сторону, сестра берет своего брата и перебирается вместе с ним, чтобы присоединиться к другим.
Решение головоломок миссионеров и каннибалов также дает тот же результат – четыре круглых поездки (девять индивидуальных обратных рейсов). Опять же, есть другие незначительные изменения. В этой версии один из каннибалов является гребцом для всех повторных поездок.
1. Два каннибала начинают его, гребясь на другую сторону.
2. Один сбрасывается с другой стороны, а другой возвращается один. Это первая поездка туда и обратно.
3. На исходной стороне гребцы людоед поднимает миссионера и рябит с ним на другую сторону. Никакая опасность не возникает из-за того, что миссионер вместе с гребцом-людоедом на лодке, в то время как на исходной стороне есть два миссионера и один людоед. Таким образом, каннибалы не превышают числа миссионеров в любом месте этого сценария.
4. Когда они достигают другой стороны, каннибал падает с миссионера, а затем возвращается один назад. Опять же, никакой опасности не возникает из-за этого, поскольку на другом берегу есть один миссионер и только один людоед. Это завершает вторую поездку туда и обратно.
5. Положите на исходную сторону, людоед поднимает второго миссионера и входит в него с другой стороны. В этом случае есть пара-миссионер-каннибал с обеих сторон и на лодке. Таким образом, от этого никакой опасности не возникает.
6. В другом банке людоед сбрасывает второго миссионера и возвращается в одиночку. На другом берегу есть два миссионера с одним людоедом, а на исходной стороне есть миссионер и людоед. Это завершает третий раунд.
7. Когда гребцов-людоед возвращается к исходной стороне, он берет последнего миссионера и перебирает его в другой банк. Разумеется, никакой опасности не возникает.
8. Когда он там, он уходит от миссионера. На другой стороне есть три миссионера и один людоед. Итак, каннибал возвращается к нему. Это завершает четвертый раунд.
9. Загрузите на исходной стороне гребца, людоед поднимает последний каннибал и перебирает его в другой банк, чтобы присоединиться к другим.
Решение головоломок для взрослых и детей также дает ту же картину, что и вариации. Вот одно конкретное решение.
1. Двое детей начинают его, гребясь на другую сторону. Конечно, лодка может удерживать их вес, потому что они составляют вес одного взрослого.
2. Один ребенок остается на другой стороне, а другой – один. Это завершает первый раунд.
3. На исходной стороне ребенок гребец вылетает, и один из взрослых садится на лодку и выходит на другую сторону. Лодка может содержать максимум взрослого веса.
4. С другой стороны, взрослый уходит, и ребенок, который уже был там, садится на лодку и возвращается в одиночку. Это завершает вторую поездку туда и обратно.
5. Загрузите оригинальную сторону, ребенок подбирает другого ребенка, ожидающего там, и вместе они переходят на другую сторону.
6. Когда с этой стороны один из детей уходит, а другой отходит один. В настоящее время на другой стороне есть взрослый и ребенок, а на исходной стороне один взрослый ждет. Это завершает третий раунд.
7. Когда ребенок гребец попадает на исходную сторону, ребенок падает, а второй взрослый теперь может спокойно садиться на лодку и грести в другом банке.
8. Когда-то там взрослый садится, чтобы присоединиться к другому взрослому уже там. Ребенок, который тоже там, садится на лодку и подходит к ребенку, который ждет оригинальную сторону. Это завершает четвертый раунд.
9. Когда ребенок гребец достигает первоначальной стороны, другой ребенок садится на лодку с гребцом, чтобы пройти и присоединиться к взрослым.
Для технических обсуждений головоломок, связанных с рекой, заинтересованному читателю следует проконсультироваться: Бенджамин Л. Шварц, «Аналитический метод для сложных проблем пересечения», журнал «Математика» 34 (1961), стр. 187-193; Ян Прессман и Дэвид Сингмастер, «Ревнивые мужья, миссионеры и каннибалы», «Математическая газета» 73 (1989), стр. 73-81; и Иварс Петерсон, «Tricky Crossings», Science News, 164 (2003).